La ecuación de Snell

Por Néstor Vidal*

¿Por qué aparece curvada un sorbete dentro de un vaso de agua? Es porque la luz viaja a una velocidad diferente en el aire y en el agua, haciendo que los rayos se curven. La ley de Snell, que describe esta curvatura de los rayos del Sol, explica por qué aparecen espejismos como charcos en las carreteras calurosas y por qué la gente parece tener las piernas más cortas dentro de la piscina. En la actualidad se utiliza para ayudar a crear materiales más inteligentes que parezcan invisibles.  

¿Quién no ha lanzado una risa al ver a sus amigos en una piscina de aguas claras porque sus piernas parecen más cortas dentro del agua que fuera? ¿Se ha preguntado alguna vez por qué un sorbete dentro de un vaso parece que está curvado? La ley de Snell nos ofrece la respuesta.

Cuando los rayos de luz atraviesan los límites entre dos materiales en los que la luz viaja a una velocidad diferente, por ejemplo, el aire y el agua, los rayos se curvan. Esto se denomina refracción. La ley de Snell describe el grado de curvatura que tiene lugar en las transiciones entre diferentes materiales y recibe su nombre del matemático holandés del siglo XVII Willebrord Snellius, aunque en realidad él nunca llegó a publicarla. A veces se la conoce como ley de Snell-Descartes, ya que fue René Descartes quien publicó una demostración en 1637. Este comportamiento de la luz era bien conocido, pues aparece documentado ya en el siglo X, aunque no fue formalizado hasta varios siglos después.

La luz viaja a una velocidad menor en materiales más densos, como el agua o el cristal, en comparación con el aire. Así pues, un rayo de luz solar que viaja hacia una piscina se curva hacia el suelo de ésta cuando alcanza la superficie del agua. Como los rayos reflejados llegan a nuestros ojos en un ángulo más plano, curvándose al revés, suponemos que llegan hasta nosotros directamente y por eso las piernas de una persona que está dentro de la piscina parecen comprimidas. El espejismo de un charco en una carretera ardiente se forma de un modo parecido. La luz del cielo se curva al rozar la superficie del charco porque cambia de velocidad en la capa de aire caliente que está justo encima del ardiente asfalto. El aire caliente es menos denso que el fresco, así que la luz se curva desde la vertical y vemos el reflejo del cielo en el asfalto, que tiene todo el aspecto de un charco húmedo.

El ángulo de curvatura de un rayo guarda relación con la velocidad relativa a la cual viaja en ambos materiales: técnicamente la proporción de la velocidad nos da la proporción del seno del ángulo de incidencia (medido desde la vertical). Por tanto, para un rayo que pasa del aire al agua y a otras sustancias densas, éste se curva hacia dentro y su trayectoria se hace más empinada.

ÍNDICE DE REFRACCIÓN

La luz viaja a la vertiginosa velocidad de 300 millones de metros por segundo en el vacío. La proporción entre su velocidad en un material más denso, como el cristal, y la del vacío se denomina índice de refracción del material. El vacío tiene por definición un índice de refracción de 1; una cosa con índice de refracción 2 haría disminuir la velocidad de la luz a la mitad de la que tiene en el espacio libre. Un índice de refracción alto significa que la luz se curva mucho cuando pasa por una sustancia.

AZÚCAR, AZÚCAR

“El índice de refracción es una herramienta útil en la fabricación de vino y en la de zumos de frutas. Los vinicultores utilizan un refractómetro para medir la concentración de azúcar en el zumo de uva antes de que éste se convierta en vino. El azúcar disuelto incrementa el índice de refracción del zumo y también indica cuánto alcohol va a contener”.

El índice de refracción es una propiedad del propio material. Se pueden diseñar materiales con un índice de refracción específico, lo cual puede ser muy útil (p. ej. para diseñar lentes para gafas correctoras de problemas de visión). La potencia de las lentes y de los prismas depende de su índice de refracción; las lentes de gran potencia tienen índices de refracción altos.

La refracción se produce en cualquier tipo de onda, no sólo en las lumínicas. Las olas del mar se hacen más lentas a medida que la profundidad del agua disminuya, imitando un cambio en el índice de refracción. Debido a esto, las olas del mar que se mueven formando un ángulo hasta una playa poco profunda, se curvan hacia ésta a medida que se aproximan de tal modo que siempre rompe paralelo al final de la playa. 

VAYA REVUELO

Las piscinas son uno de los temas favoritos del artista británico David Hockney. Además de divertirse pintando los efectos ópticos de los cuerpos deslizándose bajo el agua, bañados por el espléndido sol de su casa de California, en 2001 Hockney provocó un revuelo en el arte al sugerir que algunos artistas famosos utilizaban lentes para crear sus obras ya desde el siglo XV. Ciertos artilugios ópticos simples proyectaban una escena en el lienzo para que el artista trazara su contorno y la pintara. Hockney ha descubierto sugestivas formas geométricas al contemplar a los viejos maestros, incluyendo a Ingres y Caravaggio. -

REFLEXIÓN INTERNA TOTAL

A veces, si un rayo de luz que viaja por un cristal alcanza el límite con el aire formando un ángulo demasiado plano, el rayo se refleja hacia atrás desde el punto de contacto en lugar de continuar desplazándose por el aire. Esto se denomina reflexión interna total porque toda la luz permanece en el cristal. El ángulo crítico en el cual ocurre esto, también está determinado por los índices de refracción relativos de ambos materiales. Esto sólo sucede para las ondas que viajan de un material de índice de refracción alto a otro de índice de refracción bajo, por ejemplo, del cristal al aire.

EL PRINCIPIO DE FERMAT DEL MÍNIMO TIEMPO

La ley de Snell es una consecuencia del principio de Fermat del tiempo mínimo, que afirma que los rayos de luz toman siempre el camino más rápido para atravesar cualquier sustancia. Así, para escoger el camino a seguir en un amasijo de materiales de índices de refracción diferentes, el rayo de luz escogerá la ruta más rápida favoreciendo al material con un bajo índice de refracción. Esto es básicamente una forma de definir qué es un haz de luz y se puede deducir del principio de Huygens señalando que los rayos que viajan por el camino más rápido tenderán a reforzarse unos a otros y a crear un haz, mientras que la luz que viaja en diferentes direcciones aleatorias por término medio se anulará. El matemático Pierre Fermat propuso este principio en el siglo XVII, cuando el estudio de la óptica estaba en su apogeo.

METAMATERIALES

Hoy en día, los físicos están diseñando una nueva clase de materiales especiales, llamados metamateriales, que se comportan de formas nuevas cuando son iluminados por la luz u otras ondas electromagnéticas. Los metamateriales se desarrollan de forma que su apariencia frente a la luz venga dictada por su estructura física y no por la química. Un ópalo es un metamaterial que se encuentra en la naturaleza: su estructura cristalina afecta a la forma en que la luz refleja y refracta desde su superficie para producir destellos de diferentes colores. 

PIERRE FERMAT (1601-1665)

Uno de los mayores matemáticos de su época, Pierre Fermat era un abogado de Toulouse (Francia) que se dedicaba a las matemáticas en su tiempo libre. Tras escribir a famosos matemáticos parisinos, la reputación de Fermat creció, pero tuvo que luchar para conseguir que publicaran sus trabajos. Discrepó de René Descartes en cuanto a la teoría de la refracción, describiéndola como «un andar a tientas por las sombras». Descartes estaba muy enfadado, pero Fermat estaba en lo cierto. Más tarde, Fermat cristalizó su trabajo en el teorema del tiempo mínimo, la idea de que la luz sigue el camino más corto. El trabajo de Fermat quedó interrumpido por la guerra civil en Francia y el estallido de la peste. Pese a los falsos rumores de que había sucumbido a la peste, continuó trabajando en la teoría de los números. Como más se le recuerda es por el último teorema de Fermat, que afirma que la suma de dos cubos no puede ser un cubo (y así sucesivamente para potencias mayores). Fermat escribió en el margen de un libro «he descubierto una prueba verdaderamente notable [de este teorema] que no cabe en este margen». La prueba perdida de Fermat desconcertó a los matemáticos durante tres siglos antes de que el matemático británico Andrew Wiles finalmente la demostrara en 1994.

A finales de los años noventa se diseñaron metamateriales con índices de refracción negativos, en los cuales la luz se curva en dirección opuesta al punto de contacto. Si un amigo estuviera en un charco de líquido con índice de refracción negativo pueden ser utilizados para la fabricación de «superlentes», que forman imágenes mucho más claras de lo que es posible con las mejores lentes. Y en el año 2006, los físicos lograron fabricar un metamaterial «dispositivo de ocultación» que resulta completamente invisible a las microondas.

EN SINTESIS: “LA LUZ ENCUENTRA EL CAMINO MÁS CORTO”

*ANALISTA DEL CENTRO DE INVESTIGACIÓN FORENSE, CIENCIA Y NUEVAS TECNOLOGÍAS